4. Tema: Eşlik ve Benzerlik – Konu Anlatımı, Test Soruları ve Etkinlik
Yansıma (Simetri) Dönüşümü: Bir şeklin bir doğruya göre simetriği alınır. Şeklin kenar uzunlukları, açıları, çevresi ve alanı değişmez. Yansıma doğrusu üzerindeki noktalar sabit kalır. Şekil ile görüntüsü eştir.
Öteleme Dönüşümü: Bir şeklin belirli bir yön, doğrultu ve uzaklıkta kaydırılmasıdır. Kenar uzunlukları, açılar, çevre ve alan korunur. Şekil ile görüntüsü eştir. Yön ve konum değişir, şeklin yönelimi aynı kalır.
Dönme Dönüşümü: Bir şeklin bir nokta (dönme merkezi) etrafında belirli bir açıyla ve yönde döndürülmesidir. Kenar uzunlukları, açılar, çevre ve alan korunur. Şekil ile görüntüsü eştir. Dönme merkezine uzaklıklar korunur.
Bileşik Dönüşümler: İki paralel doğruya göre yansımaların bileşimi öteleme, kesişen iki doğruya göre yansımaların bileşimi dönme dönüşümü verir.
Kenar – Kenar – Kenar (K.K.K.): İki üçgenin karşılıklı üç kenarı eşitse üçgenler eştir.
Kenar – Açı – Kenar (K.A.K.): İki üçgenin karşılıklı iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açı eşitse üçgenler eştir.
Açı – Kenar – Açı (A.K.A.): İki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasındaki kenar eşitse üçgenler eştir.
Eş üçgenlerde karşılıklı tüm kenar ve açılar eşittir. Eşlik “≅” sembolü ile gösterilir.
Kenar – Kenar – Kenar (K.K.K.) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılıysa üçgenler benzerdir.
Kenar – Açı – Kenar (K.A.K.) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı iki kenarı orantılı ve bu kenarlar arasındaki açı eşitse üçgenler benzerdir.
Açı – Açı (A.A.) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı iki açısı eşitse üçgenler benzerdir (üçüncü açı da otomatik eşit olur).
Benzerlik oranı, karşılıklı kenar uzunluklarının oranıdır. Benzerlik oranı 1 ise üçgenler eştir. Benzerlik “~” sembolü ile gösterilir.
Temel Orantı Teoremi: Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara böler.
Tales Teoremi: Paralel doğrular, iki kesen üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturur.
Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, hipotenüsü iki parçaya ayırır. Yüksekliğin karesi, bu parçaların çarpımına eşittir.
Ayrıca dik kenarların kareleri, hipotenüs üzerindeki komşu parçalar ile hipotenüsün çarpımına eşittir:
Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir:
Pisagor teoremi, Öklid teoremi veya benzerlik kullanılarak ispatlanabilir.
Problem çözümünde izlenmesi gereken adımlar:
Örnek: Bir dik üçgende hipotenüs 10 cm, bir dik kenar 6 cm ise diğer dik kenar Pisagor teoremi ile bulunur:
6² + b² = 10² → 36 + b² = 100 → b² = 64 → b = 8 cm