1.1. Doğrusal Fonksiyonlar
Tanım: a, b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere f: R → R, f(x) = ax + b biçimindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.
Grafik ve Eğim
- Her doğrusal fonksiyonun grafiği bir doğrudur.
- Doğrunun eğimi a katsayısına eşittir. a > 0 ise doğru sağa yatık (artan), a < 0 ise sola yatık (azalan) olur.
Artanlık / Azalanlık
- a > 0 → fonksiyon tüm R’de artandır.
- a < 0 → fonksiyon tüm R’de azalandır.
Sıfır (Kök) ve İşaret
- f(x) = 0 denkleminin çözümü: x = -b/a
- a > 0 için: x < -b/a’da negatif, x > -b/a’da pozitif.
- a < 0 için: x < -b/a’da pozitif, x > -b/a’da negatif.
Bire Birlik ve Maksimum/Minimum
- a ≠ 0 olduğu sürece doğrusal fonksiyon bire birdir.
- Tanım kümesi R ise doğrusal fonksiyonun maksimum veya minimum değeri yoktur.
- Referans fonksiyon: f(x) = x. Diğer doğrusal fonksiyonlar bu fonksiyonun ötelenmesi ve genişletilmesiyle elde edilir.
Örnek: f(x) = 2x – 4 fonksiyonu için eğim = 2 (pozitif, artan), kök x = 2. x < 2 için negatif, x > 2 için pozitif.
1.2. Mutlak Değer Fonksiyonları
Tanım: a ≠ 0 olmak üzere f(x) = |ax + b| veya f(x) = -|ax + b| biçimindeki fonksiyonlardır.
Grafik Çizimi
Önce içerideki doğrusal fonksiyonun grafiği çizilir. Ardından x ekseninin altında kalan kısmın x eksenine göre simetriği alınarak mutlak değer fonksiyonunun grafiği elde edilir. Eksi işareti varsa bu grafik x eksenine göre yansıtılır.
Parçalı Gösterim
f(x) = |ax + b| = { -(ax + b), x < -b/a ; ax + b, x ≥ -b/a }
f(x) = -|ax + b| = { ax + b, x < -b/a ; -(ax + b), x ≥ -b/a }
Nitel Özellikler
- Tanım kümesi: R
- Görüntü kümesi: |ax+b| için [0, ∞), -|ax+b| için (-∞, 0]
- Sıfır: x = -b/a
- İşaret: |ax+b| her zaman ≥ 0, -|ax+b| her zaman ≤ 0
- Maksimum/Minimum: |ax+b|’nin minimumu 0’dır (maksimum yok). -|ax+b|’nin maksimumu 0’dır (minimum yok).
- Bire birlik: Mutlak değer fonksiyonları bire bir değildir.
- Artan/Azalan: |ax+b|, x < -b/a’da azalan, x > -b/a’da artandır. -|ax+b| için bunun tersidir.
Örnek: f(x) = |x – 2| fonksiyonunun grafiği, x = 2’de 0 değerini alır, x < 2 için azalan, x > 2 için artandır.
1.3. Doğrusal Denklem ve Eşitsizlikler
f(x) = ax + b ve g(x) = cx + d verildiğinde:
Denklem Çözümü
- f(x) = g(x) denkleminin çözümü kesişim noktasının apsisidir.
- Cebirsel çözüm: ax + b = cx + d → (a – c)x = d – b → x = (d – b)/(a – c) (a ≠ c)
Eşitsizlik Çözümü
- f(x) > g(x) veya f(x) < g(x) eşitsizlikleri grafik üzerinden veya cebirsel olarak çözülür.
- Cebirsel çözüm: Eşitsizlik ax + b < 0 veya > 0 biçimine getirilir. a’nın işaretine göre çözüm aralığı belirlenir.
Örnek: 2x – 3 > 0 → x > 3/2. 2x – 3 < 0 → x < 3/2.
Örnek: 2x + 1 ≤ x – 2 → x ≤ –3
1.4. Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlikler
Mutlak Değerli Denklemler
|f(x)| = k denklemi için:
- k < 0 ise çözüm yoktur.
- k = 0 ise f(x) = 0 çözülür.
- k > 0 ise f(x) = k veya f(x) = –k denklemleri çözülür.
Mutlak Değerli Eşitsizlikler
- |f(x)| < k (k > 0) → –k < f(x) < k
- |f(x)| > k (k > 0) → f(x) < –k veya f(x) > k
Bu eşitsizlikler doğrusal fonksiyonlara indirgenerek çözülür.
Örnek: |x – 3| = 5 → x – 3 = 5 veya x – 3 = –5 → x = 8 veya x = –2
Örnek: |2x + 1| < 3 → –3 < 2x + 1 < 3 → –2 < x < 1
Örnek: |x – 4| ≥ 2 → x – 4 ≤ –2 veya x – 4 ≥ 2 → x ≤ 2 veya x ≥ 6
