1.1. Gerçek Sayıların Üslü Gösterimleri
Bir gerçek sayının kendisiyle tekrarlı çarpımını kısaca ifade etmek için üslü gösterim kullanılır.
Tanım
a bir gerçek sayı, n pozitif tam sayı olmak üzere, n tane a sayısının çarpımı a üssü n olarak yazılır.
an = a · a · a · ... · a (n tane a)
Burada a'ya taban, n'ye üs (kuvvet) denir.
Özel Durumlar
- a ≠ 0 olmak üzere a0 = 1'tir.
- 0n = 0'dır (n pozitif tam sayı).
- Negatif üs: a−n = 1 / an (a ≠ 0)
Temel Kurallar
- Çarpma: Tabanlar aynı ise üsler toplanır. am · an = am+n
- Bölme: Tabanlar aynı ise üsler çıkarılır. am / an = am−n (a ≠ 0)
- Üssün üssü: (am)n = am·n
- Çarpımın kuvveti: (a·b)n = an · bn
- Bölümün kuvveti: (a/b)n = an / bn (b ≠ 0)
Negatif Tabanlarda Üs
(−a)n ifadesinde n tek ise sonuç negatif, n çift ise sonuç pozitiftir.
Örnek: (−2)3 = −8 , (−2)4 = 16
Bilimsel Gösterim
Çok büyük veya çok küçük sayılar, a · 10n şeklinde yazılır. Burada 1 ≤ |a| < 10 ve n tam sayıdır.
Örnek: 300 000 000 = 3 · 108
1.2. Gerçek Sayıların Köklü Gösterimleri
Köklü gösterim, üslü gösterimin tersidir. Bir sayının hangi sayının karesi, küpü vb. olduğunu ifade eder.
Tanım
n pozitif tam sayı (n ≥ 2), x pozitif gerçek sayı ve m tam sayı olmak üzere, n. dereceden kök xm ifadesi, xm/n olarak tanımlanır.
- n = 2 için karekök, √ sembolü ile gösterilir.
- n = 3 için küpkök, ∛ sembolü ile gösterilir.
Kök Dışına Çıkarma
- √(a²) = |a| (çift dereceli köklerde mutlak değer)
- ∛(a³) = a (tek dereceli köklerde mutlak değer yok)
- √(a·b) = √a · √b (a ≥ 0, b ≥ 0)
- √(a/b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0)
Köklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma
Kök dereceleri ve kök içleri aynı olan ifadeler (benzer kökler) katsayıları toplanarak/çıkarılarak işlem yapılır.
Örnek: 3√2 + 5√2 = 8√2, ancak √2 + √3 işlemi bu haliyle yapılamaz.
Köklü İfadelerde Çarpma ve Bölme
- √a · √b = √(a·b)
- √a / √b = √(a/b)
Paydayı Rasyonel Yapma (Eşlenik)
- 1/√a ifadesinin paydasını rasyonel yapmak için pay ve payda √a ile çarpılır: √a / a
- 1/(√a + √b) ifadesinde eşlenik (√a − √b) ile çarpılır: (√a − √b) / (a − b)
- Benzer şekilde 1/(√a − √b) için eşlenik (√a + √b) ile çarpılır.
İç içe kökler: √(√x) = dördüncü dereceden kök x şeklinde yazılabilir.
1.3. Gerçek Sayı Aralıkları
Gerçek sayılar doğrusu üzerinde iki sayı arasında kalan tüm gerçek sayılar bir aralık oluşturur.
Aralık Türleri
- Açık aralık (a, b): a < x < b (uçlar dahil değil)
- Kapalı aralık [a, b]: a ≤ x ≤ b (uçlar dahil)
- Yarı açık aralık [a, b): a ≤ x < b
- Yarı açık aralık (a, b]: a < x ≤ b
- Sonsuz aralıklar: (−∞, a), (−∞, a], (a, ∞), [a, ∞)
Gösterim Biçimleri
- Cebirsel temsil: a < x < b, x ∈ R
- Aralık gösterimi: (a, b)
- Küme gösterimi: { x | a < x < b , x ∈ R }
- Sayı doğrusu: uçlar açık ise boş yuvarlak, kapalı ise dolu yuvarlak.
Mutlak Değerli Eşitsizlik Olarak Aralık
- |x − c| < d → (c − d, c + d)
- |x − c| ≤ d → [c − d, c + d]
- |x − c| > d → (−∞, c − d) ∪ (c + d, ∞)
- |x − c| ≥ d → (−∞, c − d] ∪ [c + d, ∞)
Küme İşlemleri ile Aralıklar
- Kesişim (∩): iki aralığın ortak kısmı.
- Birleşim (∪): iki aralığın tüm elemanlarının birleşimi.
- Fark (\): bir aralıkta olup diğerinde olmayanlar.
- Tümleme ('): evrensel kümeye göre olmayanlar.
1.5. Gerçek Sayıların İşlem Özellikleri (I)
Gerçek sayılar üzerinde tanımlı toplama ve çarpma işlemleri aşağıdaki özelliklere sahiptir.
Değişme Özelliği
- Toplama: a + b = b + a
- Çarpma: a · b = b · a
Birleşme Özelliği
- Toplama: (a + b) + c = a + (b + c)
- Çarpma: (a · b) · c = a · (b · c)
Dağılma Özelliği
- Çarpmanın toplama üzerine dağılması: a · (b + c) = a · b + a · c
1.5. Gerçek Sayıların İşlem Özellikleri (II)
Etkisiz (Birim) Eleman
- Toplamada etkisiz eleman 0: a + 0 = a
- Çarpmada etkisiz eleman 1: a · 1 = a
Ters Eleman
- Toplamada ters eleman: a + (−a) = 0
- Çarpmada ters eleman (a ≠ 0): a · (1/a) = 1
Yutan Eleman
- Çarpmada yutan eleman 0: a · 0 = 0
- Çarpımın sıfır olması: a · b = 0 ise a = 0 veya b = 0 (ya da her ikisi)
Örnek: 5 + 0 = 5, 5 · 1 = 5, 5 + (−5) = 0, 5 · (1/5) = 1, 5 · 0 = 0
1.6. Önermeler, Niceleyiciler ve Mantık Bağlaçları (I)
Önerme: Doğru veya yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler p, q, r gibi harflerle gösterilir.
Değil (Olumsuz) İşlemi
p önermesinin değili ¬p (veya p') ile gösterilir. p doğru ise ¬p yanlış, p yanlış ise ¬p doğrudur.
Niceleyiciler
- ∀ (her): "Bütün", "Her" anlamındadır.
- ∃ (bazı): "En az bir", "Vardır" anlamındadır.
Örnek: ∀x ∈ R, x² ≥ 0 (doğru), ∃x ∈ Z, x² = 2 (yanlış).
1.6. Önermeler, Niceleyiciler ve Mantık Bağlaçları (II)
Mantık Bağlaçları
- ∧ (ve): Her iki önerme de doğru ise doğru.
- ∨ (veya): En az biri doğru ise doğru.
- ⇒ (ise): p ⇒ q, p doğru q doğru ise doğru, p doğru q yanlış ise yanlış.
- ⇔ (ancak ve ancak): p ve q aynı doğruluk değerine sahipse doğru.
Niceleyicilerin Değilleri
- ¬(∀x, P(x)) = ∃x, ¬P(x)
- ¬(∃x, P(x)) = ∀x, ¬P(x)
Bağlaçların Değilleri (De Morgan Kuralları)
- ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q
- ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q
Örnek: ¬(∀x, x>0) = ∃x, x ≤ 0
