7. Tema: Veriden Olasılık – Konu Anlatımı
Aynı örnek uzayda gerçekleşen iki olaydan B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının gerçekleşme olasılığına A’nın B’ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A|B) ile gösterilir.
Örnek: Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının çift olduğu biliniyor. Bu durumda sayının 4’ten büyük olma olasılığı nedir?
B = {2,4,6}, A = {5,6} → A∩B = {6} → P(A|B) = 1/3
İki olaydan birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını etkilemiyorsa bu olaylar bağımsızdır.
Örnek: Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor. Zarın 3 gelmesi ile paranın tura gelmesi bağımsız olaylardır çünkü P(3∩T) = 1/6 · 1/2 = 1/12 ve P(3)·P(T) = 1/12.
Bayes teoremi, yeni bir bilgi elde edildiğinde bir olayın olasılığını güncellemek için kullanılır. Örneğin, bir testin pozitif sonuç vermesi durumunda gerçek hastalık olasılığı hesaplanır.
Örnek: Bir hastalığın görülme sıklığı %1 olsun. Testin hastalığı doğru tespit etme oranı (duyarlılık) %95, sağlıklı birini negatif bulma oranı (özgüllük) %90’dır. Pozitif test sonucu alan bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı Bayes teoremi ile hesaplanır.
P(Hasta|Pozitif) = (0.95·0.01) / (0.95·0.01 + 0.10·0.99) ≈ 0.0875 → yaklaşık %8.75