1. Fonksiyon Kavramı ve Temel Nitel Özellikler
Fonksiyon: A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A’nın her elemanını B’nin yalnızca bir elemanıyla eşleyen bağıntıya fonksiyon denir. A’ya tanım kümesi, B’ye değer kümesi denir. Tanım kümesindeki elemanların eşlendiği değerlerin oluşturduğu kümeye görüntü kümesi adı verilir.
Fonksiyon Olma Şartları
- Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir karşılığı olmalıdır.
- Bir elemanın karşılığı birden fazla olamaz (dikey doğru testi).
Nitel Özellikler
- Artanlık – Azalanlık: Tanım aralığında x₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₂) ise artan, f(x₁) > f(x₂) ise azalandır.
- Maksimum – Minimum: Fonksiyonun tanım aralığında aldığı en büyük değer maksimum, en küçük değer minimumdur.
- İşaret: f(x) > 0, f(x) < 0 veya f(x) = 0 olduğu aralıklar.
- Sıfır: f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değerleri.
- Bire Birlik: Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri farklı ise (yatay doğru testi).
- Örtenlik: Görüntü kümesi değer kümesine eşit ise.
- Tek – Çift: f(–x) = f(x) ise çift (y eksenine göre simetri), f(–x) = –f(x) ise tek (orijine göre simetri).
2. Karesel (İkinci Dereceden) Fonksiyonlar
Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden fonksiyon denir. Grafikleri parabol dür.
Referans Fonksiyonu ve Dönüşümler
- Referans fonksiyonu: f(x) = x²
- Dönüşümlerle türetilen genel form: g(x) = a(x + r)² + k
- a > 0 ise kollar yukarı, a < 0 ise kollar aşağı.
- Tepe noktası: (–r, k)
- Simetri doğrusu: x = –r
- a > 0 ise minimum değer k, a < 0 ise maksimum değer k.
- Tanım kümesi ℝ, görüntü kümesi a > 0 için [k, ∞), a < 0 için (–∞, k].
- Artanlık/azalanlık tepe noktasına göre değişir.
- Sıfırlar (varsa) denklem çözülerek bulunur.
Tamkareye tamamlama: ax² + bx + c ifadesi a(x + r)² + k formuna dönüştürülür, böylece tepe noktası ve sıfırlar kolayca bulunur.
Örnek: f(x) = x² – 4x + 5 = (x – 2)² + 1 → tepe noktası (2, 1), minimum değer 1.
3. Karekök Fonksiyonları
Gerçek sayılarda f(x) = √x (x ≥ 0) şeklinde tanımlanan fonksiyon karekök fonksiyonu dur.
Genel Türetilmiş Form
- g(x) = a√(x + r) + k
- Tanım kümesi: x + r ≥ 0 ⇒ [–r, ∞)
- Görüntü kümesi: a > 0 için [k, ∞), a < 0 için (–∞, k].
- Daima artan (a > 0) veya daima azalan (a < 0).
- Minimum (a > 0) veya maksimum (a < 0) değeri k’dır.
- Bire birdir.
- Tek veya çift değildir (genellikle).
- Sıfırı: x + r = 0 ⇒ x = –r (k = 0 ise).
Örnek: g(x) = 2√(x – 1) + 3 → tanım kümesi [1, ∞), görüntü kümesi [3, ∞), minimum 3, daima artan.
4. Rasyonel Fonksiyonlar
P(x) ve Q(x) polinom olmak üzere f(x) = P(x) / Q(x) (Q(x) ≠ 0) biçimindeki fonksiyonlara rasyonel fonksiyon denir.
Referans Fonksiyonu ve Genel Form
- Referans fonksiyonu: f(x) = 1/x (x ≠ 0)
- Genel türetilmiş form: g(x) = a / (x + r) + k
- Tanım kümesi: x ≠ –r (paydayı sıfır yapan değer hariç)
- Görüntü kümesi: y ≠ k
- a > 0 ise (–∞, –r) ve (–r, ∞) aralıklarında azalan; a < 0 ise artan.
- Maksimum veya minimum değeri yoktur.
- Bire birdir.
- Tek fonksiyon olabilir (r = 0 ve k = 0 iken), genelde ne tek ne çift.
- Düşey asimptot: x = –r, yatay asimptot: y = k.
Örnek: g(x) = 2/(x – 3) + 1 → tanım kümesi x ≠ 3, görüntü kümesi y ≠ 1, düşey asimptot x = 3, yatay asimptot y = 1.
