3. Tema: Sayılar – Konu Anlatımı, Örnekler ve Tablolar
Asal Sayı: 1’den büyük, yalnızca 1 ve kendisine bölünebilen doğal sayılardır.
Örnekler: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …
Not: 1 asal sayı değildir. En küçük asal sayı 2’dir ve tek çift asal sayıdır.
Bir doğal sayıyı asal sayıların çarpımı olarak yazmaktır. Bu yazılış tek türlüdür (Aritmetiğin Temel Teoremi).
Örnek: 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
72 = 23 · 32 (Çünkü 72 ÷ 2 = 36, 36 ÷ 2 = 18, 18 ÷ 2 = 9, 9 ÷ 3 = 3, 3 ÷ 3 = 1)
72 = 2³ · 3²
Bir A sayısı asal çarpanlarına ayrılmış olarak
şeklinde verilsin. A’nın pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı:
ile hesaplanır. Negatif bölen sayısı da aynıdır. Toplam bölen sayısı (pozitif + negatif) bu değerin 2 katıdır.
Örnek: 72 = 2³ · 3² olduğuna göre pozitif bölen sayısı = (3+1)·(2+1) = 4·3 = 12’dir.
Bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 (12 tane).
EBOB(A, B): A ve B’nin pozitif ortak bölenlerinin en büyüğü.
EKOK(A, B): A ve B’nin pozitif ortak katlarının en küçüğü.
Örnek: 24 ve 36 sayılarının EBOB ve EKOK’unu bulalım.
24 = 2³ · 3¹, 36 = 2² · 3²
EBOB(24, 36) = 2min(3,2) · 3min(1,2) = 2² · 3¹ = 12
EKOK(24, 36) = 2max(3,2) · 3max(1,2) = 2³ · 3² = 72
Kontrol: 24·36 = 864, 12·72 = 864 ✓
Aşağıdaki tabloda en sık kullanılan bölünebilme kuralları verilmiştir:
| Bölen | Kural | Örnek |
|---|---|---|
| 2 | Son rakam çift (0, 2, 4, 6, 8) | 124 → çift → tam bölünür. |
| 3 | Rakamlar toplamı 3’ün katı | 123 → 1+2+3=6 → 6÷3=2 → tam. |
| 4 | Son iki rakam 4’ün katı | 316 → 16÷4=4 → tam. |
| 5 | Son rakam 0 veya 5 | 135 → 5 ile biter → tam. |
| 6 | 2 ve 3’e tam bölünmeli | 132 çift ve rakam toplamı 6 → tam. |
| 8 | Son üç rakam 8’in katı | 1240 → 240÷8=30 → tam. |
| 9 | Rakamlar toplamı 9’un katı | 189 → 1+8+9=18 → 18÷9=2 → tam. |
| 10 | Son rakam 0 | 250 → 0 ile biter → tam. |
Bir sayının belirli bir bölenle bölümünden kalan, o bölenin bölünebilme kuralına göre incelenir. Örneğin 5 ile bölümünden kalan son rakamın 5’e bölümünden kalandır. Basamak çözümlemesi veya kat ilişkisi yöntemi kullanılabilir.
Örnek: 347 sayısının 5 ile bölümünden kalan nedir?
Son rakam 7 → 7’nin 5’e bölümünden kalan 2’dir. O hâlde 347 mod 5 = 2.
Bileşik bir bölenle bölünebilme için, o bölenin asal çarpanlarına ayrılması ve her bir asal çarpana bölünebilme şartlarının birlikte sağlanması gerekir.
Önemli: Bileşik bölenin çarpanları aralarında asal değilse (örneğin 12 = 3·4, 3 ve 4 aralarında asal olduğu için 12 ile bölünebilme için 3 ve 4’e bölünme yeterlidir. Ancak 18 = 2·9, 2 ve 9 aralarında asal olduğu için aynı şekilde). Genel kural: Bölen aralarında asal çarpanlara ayrılıyorsa, her birine bölünme şartı ayrı ayrı aranır.