10. Sınıf Matematik - Geometrik Şekiller

1. Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Özdeşlikler

Bir dik üçgende, dar açılardan biri α olmak üzere:

Sinüs: sin α = Karşı dik kenar / Hipotenüs

Kosinüs: cos α = Komşu dik kenar / Hipotenüs

Tanjant: tan α = Karşı dik kenar / Komşu dik kenar

Kotanjant: cot α = Komşu dik kenar / Karşı dik kenar

sin²α + cos²α = 1

tan α = sin α / cos α
cot α = cos α / sin α

tan α · cot α = 1

sin α = cos(90° – α)
tan α = cot(90° – α)

İç açıortay: Bir iç açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasıdır.

Dış açıortay: Bir dış açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasıdır.

Üçgenin iç açıortayları tek bir noktada kesişir. Bu nokta, iç teğet çemberin merkezidir ve üçgenin tüm kenarlarına eşit uzaklıktadır.

Bir iç açıortay ile diğer iki köşeden çizilen dış açıortaylar aynı noktada kesişir. Bu nokta, dış teğet çemberlerden birinin merkezidir.

Bir kenarın orta noktasını karşı köşeye birleştiren doğru parçasıdır. Üç kenarortay tek noktada (ağırlık merkezi) kesişir.

Ağırlık merkezi, kenarortayları 2:1 oranında böler (köşeye yakın kısım 2 birim). Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.

Bir köşeden karşı kenara veya uzantısına çizilen dik doğru parçasıdır. Üç yükseklik tek noktada kesişir (diklik merkezi).

Bir kenarın orta noktasından geçen ve o kenara dik olan doğrudur. Üç kenar orta dikme tek noktada (çevrel çemberin merkezi) kesişir.

A(ABC) = (taban · yükseklik) / 2

Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları oranı, taban uzunlukları oranına eşittir.
Taban uzunlukları eşit üçgenlerin alanları oranı, yükseklikleri oranına eşittir.
Paralel doğrular arasında ortak tabana sahip üçgenlerin alanları eşittir.
Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa:

A(ABC) = (1/2) · a · b · sin C = (1/2) · a · c · sin B = (1/2) · b · c · sin A

ABC üçgeninde |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c olsun.

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

(R: çevrel çember yarıçapı)

a² = b² + c² – 2 · b · c · cos A
b² = a² + c² – 2 · a · c · cos B
c² = a² + b² – 2 · a · b · cos C